브레이크랑 변속 케이블이 프레임에 걸리지 않나요?
360도 돌 정도면 케이블이 상할텐데요...그렇게 돌리지 마세요.
그리고 넘어지지 않는 이상 핸들이 돌아갈 일은 없으니까 걱정하지 마세요.

차종이 어떤 건지...
어헤드 스템이 아닌 생활자전거라면 헤드셋 상단의 레이스와 잠금너트(locknut)을 조여서 좀 뻑뻑하게 만들 수는 있습니다.
하지만 헤드셋에 유격이 생겨서 덜거덕 거리지 않는다면 원래 잘 돌아가는 게 정상입니다.
유격을 확인하는 방법은.. 양쪽 브렠을 잡은 상태에서 자전거를 앞뒤로 밀어 보세요(물론...바퀴가 땅에 닿은 상태에서요^^;;)
유격이 조금이라도 있으면 덜그럭 거리는 느낌이 옵니다.
그렇지 않다면 핸들이 잘 돌아가도 크게 걱정하실 일은 아닐 겁니다.