허걱, 제 고향이 나오네요.
네이버로 검색하니 가격은 그리 비싸지 않은 것 같고요.
고속버스로 알아 보세요. 부평이나 부천은 잘 모르겠습니다. 호남선은 용산이나 서울에서 출발하고 인천에서 목포행 고속 버스가 있는지 없는지 모르겠지만 왠지 있을 것 같다는(이건 순전히 추측입니다)
가장 좋은 방법은 당사자인 철도청이나 고석 버스 회사에 물어보는 게 좋을 듯 싶습니다
즐거운 여행 되시길 바랍니다.

참고로 목포는 작은 도시라.
기차역에서 여객터미널에 더 가깝지만 시외버스터미널에서도 여객터미널까지 그렇게 멀지는 않습니다.

기차 소화물 취급소는 연중무휴입니다... 일요일이나 공휴일도 물건을 보내고 찾으실수 있습니다.. 저녁 7시 정도 까지 소화물을 취급합니다... (추석과 설날에는 잠시 쉽니다..)
철도역마다 소화물 취급소가 있지는 않습니다.. 철도청에 연락을 해 보셔야 할 겁니다...

철도화물은 연중무휴가 맞습니다.다만 문제는 당일 발송,당일 회수가 불가능합니다..당일 발송,익일 회수입니다..당일 찾으시려면 고속버스 타실때 화물로 같이 실어버리는게 제일 빠를것같습니다..운임은 서울부산 5천원 정도로 들었습니다.

철도화물로 자전거를 보내는건 비추입니다.. 자전거 망가집니다....해운대역에서 제천까지 보낸 잔차의 브레이크 레버, 뒷드레일러 행어 망가졌습니다....번거롭더라도 고속버스 화물칸 이용하시는게 좋을듯 합니다 버스기사분들 잔차 싣는거 뭐라하지 않습니다...즐거운 여행 되세요^^